新・Python入門編3:数値の型

【有限桁に見える数でも、コンピュータで扱おうとすると無限桁の数になることがある】
- 【コンピュータ内は 2 進法】
  - 私たちが普段使っている数字は 10 進法という記法にしたがったもの
  - しかし、コンピュータ内では、数値は 2 進法(※1)によって表される
- 【有限桁の 10 進法の小数を 2 進数に変換すると無限桁になることがある】
  - すべての 10 進数は、2 進数で表現することができる
  - しかし、10 進法で有限桁の数でも 2 進法では無限桁の数になってしまうことがある
  - たとえば、10 進法の 0.1 は 2 進法では循環小数になって無限桁の数になってしまう (これはのちほど確認します)
- 【なぜ無限桁の数になってしまうことがあるのか】
  - 10 進法の小数を 2 進法に変換する際は、10 進法の小数部をひたすら 2 倍し続けて 1 を作る、という方法がある(図 1)
    
    図 1: 10 進数 0.625 を 2 進数に変換する過程
  - この方法からわかるように、有限桁の 2 進数に変換できる 10 進法の小数は、その小数部が、2 をかけ続けると 1 になる小数のみによって分解される数のみ
  - つまり、10 進法の小数のうち、その小数部を 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, ... などの数の組み合わせの和によって表現できる数が有限桁の 2 進数に変換できる (2 進法についてご存じの方には「2 ⁱ (i < 0) のみの和によって表現できる数」といった方がわかりやすいかもしれません。)
  - したがって、上述のように表現できない 10 進法の小数は、たとえ有限桁であっても、2 進法で表現するときに無限桁の数になってしまう
- 【 2 進法で正確に表現できない 10 進法の小数の例】
  - たとえば、10 進法の 0.1 を有限桁の 2 進数に変換することはできない(図 2)
    
    図 2: 循環小数になる例
  - この例では、繰り返しが起こることから、10 進法の 0.1 は 2 進法では循環小数になる、つまり無限桁の数になることがわかる

【まとめ】
- 以上のことを 2 つのポイントにまとめると、以下のようになる
  - コンピュータは有限桁の数のみ扱える
  - コンピュータは数値を 2 進法で扱い、2 進数では 10 進法で有限桁の数でも無限桁の数になることがある
- この 2 つのポイントから、コンピュータは小数を正確に表現できないことがある

【捕捉】
- 【 ※1: 2 進法とは】
  - 2 進法とは、0 と 1 によって数を表記する方法のこと
  - たとえば、10 進法での 2 は 2 進法では 10 と表される
  - 2 進法は 0 と 1 で数字を表現するため、0 から整数を数え上げると、0, 1, 10, 11, 100, 101, ... となる
  - 10 進法では、9 が 1 桁で表すことのできる数の最大値だが、2 進法ではそれが 1 なため、下 1 桁が 1 の場合、1 足すと繰り上がりが発生する
  - 桁ごとの数を並べることによって自然数を表すとき、10 進法では 1 の位、10 の位、100 の位 ... だが、2 進法では 1 の位、2 の位、4 の位 ... になる。一般に 2 進法の n 番目の桁の位は 2^(n-1) の位になる
  - たとえば、2 進数 101 は 10 進法では、4 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 = 5 になる
  - また、2 進法で小数を表すときは、小数第 1 位は 10 進法の 1/2、第 2 位は 1/4、第 3 位は 1/8 ... の位になる。一般に小数第 n 位は (1/2)ⁿ の位になる
  - たとえば、2 進数 0.101 は 10 進法では、(1/2) × 1 + (1/4) × 0 + (1/8) × 1 = 5/8 (= 0.625) になる

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