部分和問題 1 Perl編（paizaランク B 相当）

1 ~ n の番号がついた n 個のおもりがあり、おもり i の重さは a_i です。
おもりを何個か選んで重さの和が x となるようにすることができるかどうか判定してください。なお、同じおもりを2個以上選ぶことはできません。

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(ヒント)

おもり 1 ~ n を用いて重さの和を x となるようにすることができるか、という問題を考えるために、部分問題としておもり 1 ~ n-1 を用いて重さの和を x となるようにすることができるか、という問題を考えてみましょう。

n-1 までのおもりを用いて重さの和を x または x-a_n となるようにすることができれば、おもり 1 ~ n を用いて重さの和を x となるようにすることができることがわかります。よって、最初はおもり 1 のみを使えることにして問題を解き、次にその結果を利用しておもり 1 ~ 2 を使えることにして問題を解く、ということを n まで繰り返せば、元の問題が解けそうです。

dp_k[x] を、おもり k までを用いて重さの和が x となるようにすることができるかどうかを表す真偽値とすると、上で考察した関係は漸化式で表すと dp_k[x] = (dp_{k-1}[x] or dp_{k-1}[x-a_k]) となります。

dp_1, dp_2, ... と順に dp_n まで計算すれば問題の答えが求まります。dp_1 から dp_n のそれぞれに対応する n 本の1次元配列 (もしくはこれに相当する2次元配列) を使って実装してもよいのですが、dp_k[x] を求めるには dp_{k-1}[x] と dp_{k-1}[x-a_k] さえわかっていれば十分であることを踏まえると、ループの回し方を以下の様に工夫することで、これまでと同じように1本の1次元配列で解くことができます。

for i = 0 to x
    dp[i] <- false

dp[0] <- true   // おもりを選ばなければ、重さの和を0とすることができる

for i = 1 to n  // おもり i までのおもりを使って
    for j = x down to a_i    // 重さの和を j とすることができるか？
        if dp[j-a_i] is true then
            dp[j] <- true   

if dp[x] is true then
    print "yes"
else
    print "no"

j を x から a_i へ減らす方向にループを回していることに注意してください。逆に a_i から x へ 増やす方向にループを回すと正しく答えが求まらない可能性があります。理由を考えてみましょう (ヒント: n = 1, a_1 = 5, x = 10 のとき、ループの回し方によって答えはどうなるか？)