ハミルトン閉路の構築 (bitmask DP)
(paizaランク A 相当)
問題にチャレンジして、ユーザー同士で解答を教え合ったり、コードを公開してみよう！
下記の問題をプログラミングしてみよう！
グラフ上の任意の頂点から出発してすべての頂点をちょうど 1 回ずつ訪問したのち、最初の頂点に戻ってくることができるようなグラフをハミルトングラフといいます。また、そのような順番で頂点を並べた閉路をハミルトン閉路といいます。
n 頂点 m 辺の有向ハミルトングラフが与えられます。i 番目の辺は頂点 a_i から頂点 b_i に向かっています。なお、グラフは自己ループや多重辺を含みません。
このグラフのハミルトン閉路を 1 つ求めてください。
bitmask DP で実際に構築するには、前問での DP の更新の際に、どの頂点から来たかを記録しておけばよいです。
たとえば、以下のように DP テーブルを定義します。
from[S][v] := DP[S][v] が表すパスで、v の直前に訪れた頂点として考えられるもののうちの 1 つ (ただし、S は集合の bitmask を整数で表現したものとします)
このとき、DP[S][v] からの遷移を以下のように変更することで、from[S][v] を求めることができます。
// 更新がおこなわれたときだけ、from[S][v] を更新する
if DP[S][v] >= 1:
DP[S + 2^u][u] += DP[S][v]
from[S + 2^u][u] = v
これをすべての S, v, u について実行した後、from[2^n - 1][0] から 0 に向かってたどっていくことで、ハミルトン閉路を構築することができます。
- 入力される値
-
n m
a_1 b_1
a_2 b_2
...
a_m b_m
・ 1 行目に、グラフの頂点数を表す整数 n, グラフの辺数を表す整数 m が半角スペース区切りで与えられます。
・ 続く m 行では、各辺の情報を表す整数 a_i, b_i が半角スペース区切りで与えられます。(1 ≦ i ≦ m) a_i, b_i は、辺の始点・終点の頂点の番号を表します。
入力値最終行の末尾に改行が１つ入ります。
文字列は標準入力から渡されます。 標準入力からの値取得方法はこちらをご確認ください
- 期待する出力
1 行目に、ハミルトン閉路に含まれる頂点の番号を左から順番に半角スペース区切りで出力してください。
最初の頂点の番号と最後の頂点の番号が同じになるように n + 1 個の頂点を出力してください。
正しい答えであればどれを出力してもかまいません。
また、末尾に改行を入れ、余計な文字を含んではいけません。
- 条件
-
すべてのテストケースにおいて、以下の条件をみたします。
・ 入力はすべて整数
・ 2 ≦ n ≦ 18
・ 1 ≦ m ≦ n × (n - 1)
・ 1 ≦ a_i, b_i ≦ n (1 ≦ i ≦ m)
・ a_i ≠ b_i (1 ≦ i ≦ m)
・ (a_i, b_i) ≠ (a_j, b_j) (1 ≦ i < j ≦ m)
・ あたえられるグラフはハミルトングラフである
- 入力例1
-
4 7
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
4 1
- 出力例1
-
1 2 3 4 1
- 入力例2
-
4 8
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
2 4
3 1
4 2
- 出力例2
-
1 2 3 4 1
