ハミルトン閉路の個数 (bitmask DP)
(paizaランク A 相当)
問題にチャレンジして、ユーザー同士で解答を教え合ったり、コードを公開してみよう！
下記の問題をプログラミングしてみよう！
グラフ上の任意の頂点から出発してすべての頂点をちょうど 1 回ずつ訪問したのち、最初の頂点に戻ってくることができるようなグラフをハミルトングラフといいます。また、そのような順番で頂点を並べた閉路をハミルトン閉路といいます。
n 頂点 m 辺の有向グラフが与えられます。i 番目の辺は頂点 a_i から頂点 b_i に向かっています。なお、グラフは自己ループや多重辺を含みません。
このグラフにハミルトン閉路がいくつ存在するか求めてください。
ただし、始点 (終点) の位置だけが異なるハミルトン閉路はすべて同じものとして数えてください。また、通る頂点の順番を逆にしたハミルトン閉路は別のものとして数えてください。
この問題でも n が最大で 18 と、全探索では間に合わないサイズになっています。そのため、bitmask DP を用いて解く必要があります。
ここで、以下のように DP テーブルを定義します。
DP[S][v] := 頂点集合 S に含まれる頂点をすべて訪問した状態で頂点 v にいるようなパスの個数 (ただし、S は集合の bitmask を整数で表現したものとします)
このとき、DP[S][v] から以下のように遷移することで、DP テーブルを更新することができます。
DP[S + 2^u][u] += DP[S][v] (u は S に含まれていない頂点で、辺 (v, u) が存在し、v ≠ u)
これをすべての S, v, u について実行した後、DP[2^n - 1][0] を出力すればよいです。
なお、始点の位置だけが異なる閉路を別のものとして数えるため、始点を適当な頂点 (ここでは 0 とします) に固定します。そのため、DP[0][0] (頂点 0 にいる状態で、あとで戻るため未訪問にしておく) を 1 で、それ以外を 0 で初期化する必要があります。
また、bitmask の集合表現では番号が 0 から始まることに注意しましょう。
この問題では、答えが符号付き 32 bit 整数に収まらない場合があるので注意してください。答えが符号付き 64 bit 整数に収まることは保証されています。
- 入力される値
-
n m
a_1 b_1
a_2 b_2
...
a_m b_m
・ 1 行目に、グラフの頂点数を表す整数 n, グラフの辺数を表す整数 m が半角スペース区切りで与えられます。
・ 続く m 行では、各辺の情報を表す整数 a_i, b_i が半角スペース区切りで与えられます。(1 ≦ i ≦ m) a_i, b_i は、辺の始点・終点の頂点の番号を表します。
入力値最終行の末尾に改行が１つ入ります。
文字列は標準入力から渡されます。 標準入力からの値取得方法はこちらをご確認ください
- 期待する出力
答えの整数を 1 行で出力してください。
また、末尾に改行を入れ、余計な文字を含んではいけません。
- 条件
-
すべてのテストケースにおいて、以下の条件をみたします。
・ 入力はすべて整数
・ 2 ≦ n ≦ 18
・ 1 ≦ m ≦ n × (n - 1)
・ 1 ≦ a_i, b_i ≦ n (1 ≦ i ≦ m)
・ a_i ≠ b_i (1 ≦ i ≦ m)
・ (a_i, b_i) ≠ (a_j, b_j) (1 ≦ i < j ≦ m)
- 入力例1
-
4 7
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
4 1
- 出力例1
-
1
- 入力例2
-
4 8
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
2 4
3 1
4 2
- 出力例2
-
1
